Введение в программирование близко к оптимальному расширение анализа чувствительности в линейном программировании

Введение

Линейное программирование (ЛП) является одним из самых значительных математических инструментов, используемых в решении проблем, имеющих практическое значение. Например, по результатам опроса Fortune 500 компаний, было сообщено, что 85% фирм опрошенная LP (Уинстон) 1991). Она применялась в самых различных областях и многочисленных приложений, которые можно найти в учебниках по управлению наукой. Например, один особенно эффективно использовать ЛП приведенные др. Eppen и др. (1987) является ЛПМ, разработанные для распределения топлива одной из авиакомпаний в 1973 топливного кризиса. Используя результаты этой модели помогли обеспечить экономию в 12% расхода топлива для компании, а общая экономия в миллионы долларов. Поскольку Л. моделирования настолько широко, Л. часто также включены в первый год колледж математики книги, кроме стандартных исследовательские работы и тексты менеджмент ..

В обычных количественного анализа курсов, Л. часто составляют большинство курсовая работа, особенно в случае, когда анализ чувствительности и анализ после оптимальности решения. По данным недавнего опроса 20 топ место бизнес-школы, среднее время, отводимое на виниле в количественных методов курс более чем на 50%. В действительности она колеблется от 30% до 100% (Каррауэй и Фриленд 1989). Несмотря на преобладающей роли ЛП для студентов и выпускников количественных исследований, есть аспект анализа чувствительности, который часто игнорируется. Стандартные подходы к анализ чувствительности, такие как правая и целевая функция коэффициента, начиная, как правило, покрыты. Однако, другой техники, которые могут быть включены в анализ чувствительности является изучение почти оптимальные решения, в отличие от создания единого глобального оптимального решения.

Эта идея почти оптимальное программирование (NOP) была исследована в научных исследованиях, хотя это редко обсуждается в учебники, написанные для курсов количественного анализа (например, Бертон и др.. 1987; 1989а Коклин, 1989b; Fiering 1984; Куинн и Харрингтон 1992) . В NOP ряд альтернативных решений легко генерируется, которые находятся в небольших пределах глобального оптимального значения целевой функции ..

NOP имеет много преимуществ, которые будут представлять интерес для бизнес-ориентированных студентов колледжа. Прежде всего, это довольно просто разработать модель ЛП в качестве модели NOP и создания решений по симплекс-метода. Студенты могут понять изменения, поскольку они, как правило, мало. Самое главное, NOP имеет важные последствия для задач, где есть более чем одна, принимающих решения или более чем одна партия, которая может быть затронута решением. Основная идея NOP в том, что зачастую является более важным, чтобы предоставить заинтересованным сторонам с различными типами решений от ЛПМ, чем производить только один оптимальное решение.

Очевидно, что глобальный оптимального решения ЛПМ только так хорошо, как оригинал-макет. Так как любая модель является абстракцией реального мирового процесса, это может быть неточность. Например, стоимость данных или прибыли, как правило, оценивается и не является точным. Кроме того, не может быть целей или ограничений, которые трудно оценить количественно, ни политических, ни социальных, и поэтому их трудно включить в модель. Другая проблема заключается в том, что методы сбора данных не являются вполне надежными. Как Роджерс и Fiering (1986) состояние:

Причина для поиска этой области (почти оптимальным область) обогащения спектр возможных решений, из которого построены решение, приемлемое для всех соперничающих партий. Это может быть более ценным для отступления от оптимальное решение, после чего почти оптимальные решения стала привлекательной. Там могут быть политические или институциональные ограничения, которые лучше неустановленной. Математических формализмов затем использоваться для идентификации набора переговоров, из числа которых в политическом процессе выбора решения.

NOP это метод, который особенно полезен для бизнеса, ориентированного класса студентов. Будущее менеджера, финансового планирования, разработки политики и маркетологи должны быть более осведомлены о возможных оптимального решения в Л.П., который будет необходим для любого типа переговорного процесса. Многие проблемы, которые формулируются в ЛП проблемы с участием многих лиц, принимающих решения или заинтересованными сторонами. В таких случаях, одно оптимальное решение не может удовлетворить всех тех, которые пострадали от решения или плана. Поэтому было бы более выгодным для создания других решений, близких к оптимальным, и предлагаем выбор в разные стороны. Таким образом, не может быть места для дискуссий или переговоров.

Методология

Формулировка проблемы NOP прост и может быть легко внедрена в количественном курс анализа. В частности, одна начинается с задачи ЛП и находит оптимальное решение, как правило, используется версия симплекс-метода. Например, стандартная форма задачи ЛП является:

Макс Z = | суммирования ~ | c.sub.j ~ | ~ x.sub.j где / = 1 п

подлежащий

| X.sub.j ~ | больше или равна ~ 0 при / п = 1 ,...,

Есть где п переменных и решения м функциональными ограничениями.

После того, как оптимальное решение, Z *, будет найден, то задача ЛП может быть реконструировано, чтобы стать проблемой NOP только два изменения: 1) добавить первоначальной цели функционировать в качестве новых препятствий на пути проблемы и 2) сформулировать заново цели функции. Мы заинтересованы в решениях, которые содержатся в допустимой области, которые генерируют значения Z, которые численно очень близко к Z * но все же значения для решения переменных (| x.sub.1 ~,...,| x.sub . п ~), которые отличаются от оптимального решения.

Общий вид модели NOP становится:

Макс Z = | суммирования ~ | k.sub.j ~ | ~ x.sub.j где / = 1 п

подлежащий

| Суммирования ~ | a.sub.ij ~ | x.sub.j | меньше или равна ~ ~ би где / = 1 п при г = 1 ,..., т

| X.sub.j ~ | больше или равна ~ 0 при / п = 1 ,...,

с дополнительным ограничением

Есть где п решение переменных и 1 м функциональными ограничениями в настоящее время, включая дополнительные ограничения.

Коэффициенты, | k.sub.j ~, представляют собой новую цель коэффициентами. Аналитик принимает решение о строительстве новой целевой функции, а следовательно, от значения | k.sub.j ~. Например, если аналитик хочет, чтобы определить диапазон для конкретной переменной, | ~ x.sub.3, то он будет делать два рейса максимального данной целевой функции. В один проход, | k.sub.3 ~ = 1, а в другом плане | k.sup.3 ~ = -1, а остальные | k.sub.j ~ = 0 в обоих работает. Это соответствует максимальному отдельных переменных, а затем ее минимизации.

Цель-функции оригинальной модели в настоящее время включен в качестве сдерживающего фактора в модели NOP и должны быть в пределах определенного процента Z *. Значения | Alpha ~ может быть разным, в зависимости от аналитика, хотя диапазон 0,95 до 0,99 часто рассматривается в литературе (например, Fiering 1984; Харрингтон и Джидли 1985; Куинн и Харрингтон 1992).

Простая иллюстрация проблемы NOP показан на рисунке 1. ЛПМ содержит два решения переменных и два функциональных ограничений. Целевая функция добавляется в качестве нового ограничения, с тем чтобы затененной области, в том числе границы, представляет возможные области проблемы NOP.

Определенное внимание должно быть уделено топографии допустимой области, объясняя студентам, как они будут выбирать значение | Alpha ~. Один из способов описать это в классе провести аналогию между возможным регионе и физической модели. Например, окружающие окрестности точки оптимальности может быть приравнено к вершине горы или равнины.

Если мы рассмотрим стандартный задача максимизации, то другую цель значения соответствуют разной высоте, где самая высокая точка соответствует оптимальному объективной ценности. Если соседние области, близкой к оптимальной точке квартиры, то по мере удаления от апогея (Z *) с боков в любом направлении, высота не меняется много и так высота по вертикали (Z), будет относительно постоянным. Таким образом, | Alpha ~ может быть значение, близкое к 1,0, например, 0,99, и еще много различных генерировать почти оптимальных решений.

Если рельеф области очень пика, а затем по мере удаления от вершины в любом поперечном направлении, высота резко изменяется. Поэтому, если на поверхности допустимой области содержит острый пик в глобальный оптимум, то | Alpha ~ могло быть снижены с общей стоимостью около 0,99 до значения 0,95 и 0,90 для получения различных, почти оптимальных решений . То есть, можно было бы пожертвовать больше высота, с тем чтобы иметь возможность двигаться дальше, от самой высокой точки, чем в случае плоской возможности региона.

В конечном итоге выбор | Alpha ~ остается аналитик и принятия управленческих решений. Аналитик не будет иметь визуальное отображение топографии области технико-экономического обоснования, поскольку Есть правило, более чем два или три решения переменных в модели. Поэтому он не знает, область особенно плоские или нет. Подхода в это позволить | Alpha ~ предположить величину, близкую к 1,0. Если аналитик считает, что не хватает различные близкие к оптимальным решения могут быть созданы для данного значения | Alpha ~, то это значение может быть уменьшено, пока аналитик вызвало столько новых решений, как ему нужно.

Единственный оставшийся вопрос о разработке NOP рассмотреть это как следует новых целевых функций быть построены. Существуют различные методы, которые включают: (1) общую переменных решения в логические группы и максимизации или минимизации групп, (2) максимизации и минимизации каждое решение переменному в отдельности, чтобы получить диапазон переменной, (3) максимально любое решение переменных, которые неосновные в исходном растворе или предыдущих решений, с тем чтобы они стали основным, (4) сведение к минимуму любую группу переменных, которые доминируют в исходном растворе, или (5) рандомизации новую цель коэффициентов функции. Этот список никоим образом не исчерпывает возможностей для построения новой целевой функции, но это является отправной точкой для студента.

Пример

Для иллюстрации NOP в класс, мы используем пример из литературы, что является относительно небольшой, предназначен для классных занятий, но все же проявляет свойства задачи, в которой не было бы различных заинтересованных сторон с противоположными проблемами. Иными словами, проблема, где многие поколения решений может быть выгодно и потенциально может привести к переговорам и компромиссу.

Примером может служить модель землепользования с Cheung и Оже (1976), в которой Есть 4 площади лесных угодий, B, C и D, каждая с возможностью многократного использования: лесоматериалы, сельское хозяйство и отдыха. Из-за этих различных использует для находящихся в государственной собственности земли, лесные угодья, противоречивых проблем вполне может возникнуть. В случае, такие, как эта, для переговоров компромиссное решение могло бы стать очень важным. Краткая спецификация модели выглядит следующим образом:

Переменных (в гектарах использования):

подлежащий

Описанная модель также включает в себя ограничения неотрицательности для всех переменных решения.

Оптимальное значение в оригинальной статье в общей прибыли в размере $ 3462 в год, используя при этом все 80 гектаров земли для B ели производства в сочетании с кемпинга (| X.sub.8 ~), используя все 268 акров земли C на пшеницу производства (| X.sub.10 ~), используя 1042 акров земли для D тополя производства смешанного с охоты (| X.sub.16 ~), а не с помощью земли на всех. Только те три переменные решения являются базовыми.

Следует подчеркнуть, студентам, что они всегда должны проверить получить ответы, чтобы убедиться, что они согласны с ними. Первоначальная модель, извлеченные из литературы содержит коэффициент | X.sub.16 ~ на 0,8 во втором ограничения. При рассмотрении данного решения по литературе, то очевидно, что это ограничение нарушается, поскольку 0,8 | X.sub.16 ~ = 0,8 (1042) = 833,6 человеко-дней. Этот срок превышает один пределах имеющихся труда, только 700 человеко-дней. Использование оптимальное решение предусмотрено в бумагу, мы можем вычислить новый коэффициент | ~ X.sub.16 во втором ограничение, которое 0,53, и это показано в приведенной выше модели. При использовании этой новой коэффициент оптимального решения симплекс-метода решения матчи заявил в оригинальной статье.

Все студенты должны быть готовы проверить разработки моделей и решений приведены в учебниках и журнальных статей, как это сделано выше. Их следует поощрять, чтобы проверить свои расчеты, если их номера не соответствуют тем, которые опубликованы, но они также должны быть готовы к вопросу номера, которые предоставляются, если их собственной работы, как представляется, правильно. В этом случае, найти ошибки в указанном решении, и исправить его требуется всего несколько шагов алгебраической. Важно, чтобы показать студентам, что произошло опечатки; данной модели и решения всегда должны быть проверены на наличие ошибок.

Результаты

После того, оптимальным решением является расчетной и подтвердил, целевая функция переехал на множество ограничений, как:

и новые цели функции вводятся в модель.

Есть много способов разработки новой целевой функцией модели NOP. Отметим, пять возможностей, выше которого никак не является исчерпывающим. В качестве способа введения NOP моделирования для студентов при этом не дают слишком большое количество серий интерпретировать в классе, мы решили использовать первые два метода. Поэтому мы начнем с | Alpha ~ = 0,99 и сделать две серии опытов.

Быстрый набор состоит из семи работает, где мы объединяем различные переменные, а в новых целевых функций таким образом, что менеджер может подойти к нему и что должно быть логичным для студентов. Переменные могут быть сгруппированы в дополнительные пути, чтобы больше проходит может быть сделано в этой первой серии, в зависимости от того, сколько времени находится в классе по этой теме. Результаты представлены подробно в Таблице 1 вместе с оптимальным решением. Например, запустить 2 состоит из целевой функции, в которой Земля является максимальной, так как оптимальное решение, запускать 1, переменные, представляющие Земля все неосновных. Таким образом, оптимальный план не воспользоваться этой площади, как было сказано выше. Целесообразно максимально эффективного использования земли, чтобы увидеть, есть ли возможность использовать его, оставаясь при этом на 99% от оптимального уровня прибыли ..

Во второй серии трасс, решение переменных в отдельности минимизированы и развернуто, в целях получения квоты для каждого из них. Это позволяет указать, какие переменные являются относительно инвариантной и которые являются более гибкими. Кроме того, создание диапазонов для каждой переменной, новые отдельные решения могут возникнуть в результате этого метода. Чтобы дискуссия относительно короткий, только диапазоны для каждой переменной, представлены в таблице 2. Таким образом, отметим, что минимальные и максимальные значения в таблице 1, не обязательно должны соответствовать указанным в таблице 2, так как последний стол, образуется из двух наборов работает.

Первое замечание, которое студенты могут сделать то, что исходное значение целевой функции остается на 3427 для каждого запуска, перечисленных в таблице 1, что составляет 99% от оптимального решения, 3462. Студенты могут принять к сведению, что они не смогут установить исходное значение целевой функции в модели NOP, глядя на вялый значение, связанное с новым ограничением. Если это дополнительное ограничение является обязательным, так как во всех указанных выше работает, то исходное значение целевой функции в точности | Alpha ~ Z *.

Среди 8 запускается в первый набор, как представляется, будет пять различных решения. Ран-1 очень близок к бежать 6, с небольшой компромисс между переменными | X.sub.2 ~ и | X.sub.16 ~. Выполнить 3, 5 бежать и бежать 8 все одинаковы, компромисс между переменными | X.sub.1 ~, | X.sub.4 ~, | X.sub.5 ~, | ~ и X.sub.8 | X.sub.11 ~. Мы считаем, запустить 2, 4 запуска, а также запустить 7 для различных ТАБЛИЧНЫЙ DATA опущены для дискуссий в классе. В различных решений, предлагаемых на 99% оптимальности, то проблема становится управленческие решения о том, какие решения "лучший" соответствует цели всех заинтересованных сторон.

Во всех бежит, земля C предназначен для производства пшеницы, однако, рыбалка может быть также пригодны для этой площади, как показано в 4 бежать. Таблица 2 показывает, что максимальная площадь, которая должна быть выделено для ели продукцию только для ели и производства в сочетании с рыболовством, незначительны. Эта таблица также показывает, что производство пшеницы всегда остается в существенной площади, с минимальным значением 152.

Земля D должны использоваться главным образом для сочетания тополей и охоты. Таблица 2 показывает, что небольшая часть может быть выделена только для одной или другой стороны. Как и Земля B, производство картофеля не будет полезным.

Некоторые другие моменты, которые иллюстрируют ценности или эффективности NOP может быть, глядя на отдельные работает в таблице 1. Так, например, работает 3 и 8 показывают, что все имеющиеся государственные земли, 1694 гектаров, могут быть использованы, а не только 1390 гектаров выделены в оптимальное решение. В том же ключе, эти две трассы, а также запустить 5, показывают, что более 1400 акров могут быть использованы для производства пиломатериалов, частично в связи с отдыхом. С другой стороны, работать 1 предусматривает лишь 1122 акров совместного производства пиломатериалов и отдыха. Кроме того, стоит отметить, что большинство решений в этой таблице содержит пять to шесть конкретных назначений использования земли, тогда как оптимальное решение включает в себя только три распределения земли. Короче говоря, NOP работает увеличили количество вариантов для землепользователей ..

Интересно отметить, что | X.sub.8 ~, | X.sub.10 ~ и | ~ X.sub.16 всегда основные, так что любой компромисс или согласованного плана будет включать их. Эти переменные являются относительно инвариантной, мы всегда должны рассматривать их. С другой стороны | X.sub.4 ~ и | X.sub.11 ~ относительно гибкой, так как они имеют атрибут что они могут быть частью решения, или не принимают во внимание, так как каждый имеет минимальное значение, равное нулю . В попытке объяснить студентам, как они должны интерпретировать эти различных типов переменных, Харрингтон и Джидли (1985) предоставлять некоторые идеи. Если переменные не меняются в почти оптимальные решения, то эти переменные "будет иметь решающее влияние на значение целевой функции, поэтому было бы целесообразно вкладывать больше усилий именно в оценке затрат и выгод от этих решений." С другой стороны, те переменные, которые изменяются широко "представить, принимающего решение свободу выбора, поэтому было бы целесообразно, чтобы вкладывать больше усилий в более точное измерение unmodeled последствия этих решений.".

Важно подчеркнуть, студентам, что не всегда правильного или неправильного ответа к этой проблеме. Выбор "лучшего" ответ становится управленческих решений. Студенты должны иметь возможность выбирать решения, которые они считают наиболее подходящий и студентов следует поощрять защитить свой ответ.

Если ни одно из решений удовлетворяет всем заинтересованным сторонам, то менеджер может сделать несколько вещей. Он может попытаться генерировать больше NOP решений на том же уровне | Alpha ~ новыми целевыми функциями, используя некоторые другие методы. Другой подход менеджера можно рассматривать для переговоров является изучение выпуклых комбинаций всех решений, которые уже созданы. Например, если одна решение удовлетворяет большинство из сторон, а другая удовлетворяет оставшиеся группы, то сочетание этих двух решений могут быть использованы. Это способ создания планов, которые содержатся на краях или внутри близко к оптимальному допустимой области, а не только на угле. Другой подход заключается в ослабить ограничения на оригинальном прибыли, то есть уменьшить уровень | Alpha ~ и новые решения NOP с использованием тех же типов целевых функций, как указано выше.

Же две серии опытов сделаны с | Alpha ~ = 0,95 продемонстрировать, как решения может измениться, когда цель ограничения функции расслабленной. При уменьшении | Alpha ~ значение, мы ожидаем, немного больше движения в значения всех переменных. Некоторые работает на 99% содержат переменные, которые включены в новую ТАБЛИЧНЫЙ DATA опущен целевых функций, которые уже на своих верхних пределов. В этих случаях решения на 95% не улучшится от стоимости новых целевых функций, но они обеспечивают различные виды выделения земельного участка от тех, на 99%. Например, в запускать 2 в таблице 1, Земля достигает максимума в объеме 300 акров для ели и охоты, которая является верхним пределом. На 95% в запустить 2 существует та же распределение земельных, однако, производство ели в земле и земельных участков B C рассредоточена по-разному между этими двумя работает ..

С другой стороны, производство картофеля в земле B и D Земля по-прежнему очень плохой вариант. Таблица 4 показывает также, что производство пшеницы в земельной C может быть сведена к нулю, что не альтернатива | Alpha ~ = 0,99. Это также верно для ели в сочетании с лагерем в земле B. Таким образом, только тополя производства в сочетании с охотой на Землю D содержится в каждом решении, так что, если земля планы были основаны на работает на | Alpha ~ = 0,95, то только это выделение земли должны обязательно быть включены. Все другие виды использования земли будут открыты для обсуждения ..

Выводы

Внедрение NOP для количественного анализа класса, или какого-либо класса, касающихся Л.П., может значительно расширить обсуждение анализа чувствительности. Следует подчеркнуть, что NOP является расширением анализ чувствительности и не должны заменить стандартные темы. Однако, как дополнительные темы, она дополняет обсуждения анализа чувствительности. Только два изменения необходимы для преобразования модели ЛП на модели NOP и механики участие достаточно просты, так что большинство студентов могут быстро понять изменения. После Л. закрыта, NOP может быть введен в качестве внешней уступки, так как учебное время, как правило, ограничены. Поощряя студентов использовать ЛПМ, они могут понять, как легко NOP решения могут быть получены.

Когда студенты начинают работать с моделью, NOP, есть трудности с призывая их рассматривать несколько вариантов, выбрать решение, которое они думают, что это разумный выбор для всех заинтересованных сторон, а также защитить свой ответ. Часто в преподавании математических методов оптимизации, это подчеркнул, что есть только один "ответ лучших". В реальных приложениях, которые могут не произойти, поскольку часто Существуют, как правило многих сторон, участвующих в процессе принятия решений. Важно, чтобы представить разнообразие выбора лиц, принимающих решения, с тем чтобы они могли вести переговоры решение, удовлетворяющее всех, кто страдают от этого плана.

Ссылки

Бертон, RO, Джидли, JS, Бейкер, BS, и Реда-Вилсон, KJ 1987. "Почти оптимальные линейные решения Программирование: некоторые концептуальные вопросы и применению хозяйства." Американский журнал экономики сельского хозяйства. Том 69. Ноября с. 813-18.

Cheung, Х. и Ж. Оже. 1976 ", линейного программирования и предоставления земельных участков, использования: оптимального решения и политика", социально-экономического планирования наук, Vol. 10, с. 43-45.

Каррауэй, Р. и Дж. Фриленд. 1989 ", MBA Обучение операционного менеджмента и количественные методы," Интерфейсы, Vol. 19, № 4, с. 75-88.

Коклин, К. 1989а. "Математическое программирование и планирования ресурсов I: Ограничения традиционных оптимизации". Журнал управления окружающей средой. Том 28. с. 127-41.

Коклин, К. 1989b. "Математическое программирование и планирования ресурсов II: новые разработки в методологии". Журнал управления окружающей средой. Том 28. с. 143-56.

Eppen Г. Гульд, Ф. и С. Шмидт 1987. Вступительные наук управления. второе издание. Prentice Hall, Inc Englewood Cliffs, N.J.

Fiering, М., 1984. "Почти-оптимальность в управлении и физических моделей". 9-й Всемирный конгресс Международной федерации по автоматическому управлению, Будапешт.

Harrington, J.J. и J.S. Джидли 1985. "Изменчивость альтернативных решений в водных ресурсов задачи планирования". Water Resources Research. Том 21. с. 625-38.

Куинн, J. и Харрингтон, J. 1992. "Создание альтернативных конструкций в другую юрисдикцию по освоению природных ресурсов схем в Большом бассейне реки Ганг". Статьи в региональной науки. Том 71, № 4, с. 373-391.

Роджерс, П. и М. Fiering. 1986. "Использование системного анализа в управлении водными ресурсами", Water Resources Research, Vol. 22, № 9, с. 1468-1588

Уинстон, В. 1991. Исследование операций: Приложения и Алгоритмы. второе издание. PWS-Кент издательство "Publishing Co Бостоне, Массачусетс.

Спорт академии США разрабатывает новые мастер спорта программа степень науки

United States Sports Academy Награды спорта программы

Университет Северной и Южной Америке: заполнение необходимость

United States Sports Academy Ассоциация выпускников

Энциклопедический спортивных программ: сравнительный анализ

Обучение целом спортсмена в технологической среде

Оттенки серого в тюремной администрации

Научной оценки пять различных стратегий учителей использовать для поддержания порядка

Роль благого управления образованием в условиях изменяющегося Южной Африке

Почему мы не можем получить все вместе? К основу для объединения исследовательских парадигм

ОБРАЗОВАНИЕ - статьи, новости, рефераты, переводы

Введение в программирование близко к оптимальному расширение анализа чувствительности в линейном программировании