Открытие ориентированные технологии расширения абстрактных курса алгебры

Эта статья описывает инновационный метод для преподавания математики, который был использован для обучения абстрактной алгебры класса математического образования, специальности в маленьком гуманитарном колледже. Изменение Discovery Метод RL Мура был использован в сочетании со значительным использованием математического программного обеспечения. Хотя студент реакции первоначально были отрицательными, студентов вырос принять и даже обнимать методов обучения. Аноним оценки преподавания управлением в конце семестра, оказались благоприятными. Как измеряется эффективность рассмотрения, и успеваемость учащихся в этом разделе экспериментальных класса была высокой. Это учение эксперимент был чрезвычайно трудоемким, с точки зрения преподавателя.

**********

Эта статья описывает свои усилия для создания инновационной абстрактный класс алгебра в Спрингфилде колледж, в небольшом колледже в западном Массачусетсе. Студенты в этом классе как правило, младшие математики и математического образования, специальности. Все они завершили линейной алгебре и дифференциальным уравнениям, но большинство из них еще не действительно комфортной с доказательствами или серьезные математические абстракции. Классов по математике специальностям небольшие, как правило, пять to десяти студентов. К тому времени, студент принимает алгебре, я обычно знаю его или ее очень хорошо.

Традиционно, аннотация курса алгебры (как и большинство курсов по теоретической математике) центров презентации инструктора определений и теорем. В лучшем случае, студенты участвуют в логическому изложению темы, доказывая, несколько ключевых теоремы в качестве домашнего задания упражнения, в большинстве курсов, однако, студентов доказать лишь незначительных результатов в своей домашней упражнения, и все теоремы, которые будут приведены в последующих доказательств доказаны в учебнике (и, возможно, преподаватель в лекции). Этот традиционный подход эффективен для некоторых студентов, но, конечно, не лучший подход для всех. Сегодня студенты, в соответствии с неофициальные данные по крайней мере, имеют тревожную склонность к "шаблон решения проблем синдром" (TPSS), которая была не столь очевидна в предыдущие поколения студентов.

По TPSS, я имею в виду тенденцию, чтобы увидеть математику как набор методов решения проблем для запоминания и нежелание или нежелание открывать новые методы самостоятельно; жертвой TPSS считает, что единственный способ решения проблемы заключается в последующей шаблон, в котором была оказана. TPSS ориентированных студентов на лекции-ориентированный, конечно, не могут приобрести навыки критического мышления, из тех, что факультет чувствовать должны быть приобретены на этом уровне. Бенсон (2002) состояний классической дилеммой: "Это, наконец, пришла мне в голову, что если один учится математике делать математику (как я утверждал), то, возможно, единственный человек, обучения, когда я вверх на борту это я.".

Многие читатели, без сомнения, знакомы с Университетом открытие метода Техас математик Р. Мура обучения, которая описана в Трейлор (1972). При планировании абстрактный класс алгебра, мой первый резолюции заключается в использовании метода открытия Р. Мур в измененном виде. Метод Мура, в чистом виде, требует класс математике студентов, чтобы доказать все теоремы совершенно сами по себе, естественно, их обучение и глубокие знания сохраняется. Такие бескомпромиссную позицию, я подумал, может оставить наш класс застрял на площади один, но все же, моя цель заключалась в студенты обнаружить столько, сколько они, возможно, могут сами по себе.

Во-вторых, я решил интегрировать технологию в класс, как основной инструмент для облегчения открытия. Есть целый ряд пакетов программного обеспечения, специально предназначенные для абстрактная алгебра (или теории групп, в частности): GAP и МАГМА на самом современном уровне, и ESG и ФГБ для студентов. Я решил принять бесплатная программа ФГБ (Конечные группы Поведение) и дополнить его более гибким и Вывести Мейпл общего назначения математических программных пакетов.

Выбрав эти идеалистические цели, я решил изучить курс на фактическое студентов на первый раз осенью 2000 семестр. Пока я учил этот курс три секции студентов. Каждый семестр я изменить планы на несколько подходит то, что я вижу, будет класса динамику отдельных учащихся в классе, все из которых я обычно знаем из предыдущих классов, в этой статье, для простоты я буду описывать идеальный класс.

Для начала класса, я могу представить несколько примеров из множества с (не обязательно закрыты) бинарных операций: целых, рациональных, действительных и комплексных чисел по сложению и умножению, целых сложения по модулю N, N-на-п матриц под матрицу умножения, симметрии правильного многоугольника, и другие примеры. Студенты попросили первого выполнять различные вычисления по этим элементам, включая решения уравнения. Цель состоит в том, чтобы выяснить, какие свойства делают удобным для решения проблем. Чтобы помочь школьникам открыть для себя преимущества ассоциативного правила, например, можно представить их следующую коммутативную операцию (1,2,3,4,5):

Тем не менее, клен и получить доступны для студентов математического эксперимента и ускорения расчетов. Например, можно умножить три общих матриц, чтобы показать, что умножение матриц ассоциативно ..

Таким вычислений и решения уравнений в подмножествах групп, можно подвести учащихся к обнаружить определения подгруппы. После того как они уже видели несколько примеров конечных групп и их подгрупп, можно попросить учащихся сделать предположение о порядке подгрупп. Это не трудно для студентов гипотезы теореме Лагранжа, в котором говорится, что порядок подгруппы любой конечной группы должны делит порядок группы. После того как учащиеся обнаружили теоремы себя, они более мотивированы к попытке доказательства.

Некоторые другие понятия, такие как изоморфные группы, достаточно хорошо подходит для изучения, обсуждения и открытий. Из-за нехватки времени этого в течение семестра, конечно, я оказался вынужден, к сожалению, ввести некоторые понятия, как фактор-групп, почти "из ниоткуда" с маленькой мотивации.

Изучив группы, подгруппы, нормальные подгруппы и фактор-групп, настало время, чтобы разработать библиотеку примеров. ФГБ поставляется с большой библиотекой групп, включая всех абелевых групп до порядка 16, и все неабелевых групп до 40. Студенты могут буквально видеть подгрупп и фактор-групп в группе с цветной маркировкой группы таблиц. Кроме того, ФГБ включает в себя широкий спектр вычислительных средств, например, с учетом одного или нескольких элементов группы, ФГБ будет вычислить подгруппа, порожденная этими элементами путем создания подгруппы таблицы в серии шагов, как несколько элементов, принуждаются к вступлению в подгруппы.

Я хотел бы спросить студентов на данном этапе определить, как класс, независимо от того, обратное теореме Лагранжа имеет место, то есть, если п делит порядок группы, там обязательно подгруппа порядка п? Студенты тщетно пытается найти доказательства. Поиск контрпример является непростой задачей тоже, но ФГБ ускоряет расчеты, и в конце концов кто-то обнаруживает A_4, чередующиеся группы по 4 элемента, который имеет 12 элементов, но не подгруппа порядка 6 (Галлиан, 1998).

Еще один интересный компьютерный осуществлять предложил Keppellmann и Webb (Keppelman и Уэбб, 2002). "Доказать или опровергнуть следующие гипотезы. Предположим, что H и K нормальные подгруппы конечной группы G. Если H и K изоморфны, то G / H и G / K изоморфны. " Опять же, студенты должны бороться за какое-то время, прежде чем они осознают, что они не могут построить доказательство, так как это предположение оказывается ложным, а также. Большинство студентов будут терять терпение задолго до того, они могли бы найти контрпример вручную, однако, с ФГБ, можно посмотреть на относительно больших, сложных групп, которые могут иметь изоморфные нормальные подгруппы. Группа G = <a,b,c,d,e | a^2=d, bn2=e, c^2=1, d^2=1, e^2 = 1,b^a=bc> является хороший контрпример (Keppelman и Уэбб, 2002).

Обозначим через H = (1, с) и К = (1, г). Тогда G / H имеет семь элементов порядка 2, в то время как G / K имеет только три таких элементов, а фактор-группы не могут быть изоморфными ..

Почти в каждом случае, студенты изначально выражали определенную враждебность к идее активного открытия целенаправленное обучение. Большинство студентов, изначально считаю себя вправе шаблон задача подготовить их к какой-либо проблемы или домашнее задание в классе задание, и чувствовать себя хоть сколько-нибудь обмануть. Один студент пришел ко мне в кабинет часа в начале семестра, глядя очень волновалась. Она рассказала, что она уважает мое право устанавливать любые стандарты я думал, соответствуют конечно, но она просто не смогла сделать этого стиля математики, и ожидается, что провалят конечно. К концу семестра, однако, большинство учащихся самостоятельно мыслить и оценивать, как открытие метод может дать им возможность, в том числе, что беспокоит студентов, упомянутых выше.

Все или почти все студенты считают, класс сложной задачей. Некоторые считают это слишком сложно или слишком абстрактно. Меньшинство никогда не вокруг философски и продолжают находить все мои ожидания необоснованным. В целом, однако, мой конец семестра оценки педагогической были несколько более благоприятными, чем у моих более традиционные лекции-ориентированных классов ..

Я ожидал, что изначально наш класс будет учиться намного меньше, чем содержание курса традиционного курса, так как открытие время будет в некотором смысле "потерянным". По сути, наша широта охвата была гораздо больше, чем я ожидал. Мы в состоянии охватить почти столько же темы, как я закрыл, когда учил этот курс с традиционными методами. Есть несколько причин, наиболее важной в том, что студентов учат их основам коренным образом, так что это им легче освоить тонкости. Рассмотрение оценки были несколько выше, чем можно было бы ожидать в обычном классе, несмотря на то, что тестовые вопросы я задавал этот экспериментальный класс были несколько более сложной, чем они были бы в обычной раздел абстрактной алгебры ..

По сравнению с лекцией-ориентированный курс, который я учил ранее, открытие курс был выше во многих отношениях. Конечно, это всегда интересно учить. Более того, я чувствую, что студенты приобретают гораздо более глубокое понимание данного вопроса. Я знаю, они приобретают навыки абстрактного мышления, который останется с ними навсегда. Первоначально ожидалось, что для достижения этой глубины понимания, мы должны были бы пожертвовать некоторыми ширину, цена, которую я считал стоит платить. Удивительно, но потери темы охвата была умеренной. Вероятно, лучшее объяснение этого удивительного явления является то, что студенты учатся работать самостоятельно, так и менее ценные класса времени тратится на бытовых деталей ..

Основным недостатком вижу, такого рода, конечно, время, необходимое на обоих инструктора и часть студентов. Этот класс является одним из основных обязательств времени для инструктора на постоянной основе. Студенты требуют огромного количества отдельных внимание в этом классе, особенно поначалу. Тем не менее, сроки выполнения работы требуется хорошо стоит за достигнутые результаты.

Подтверждение

Это исследование было поддержано проекта STEMTEC (Наука, технологии, инженерии и математики педагогического образования Совместного), NSF награды

Ссылки

Бенсон, С. и Финделл, B. (2002). Модифицированный Discovery подход к преподаванию и обучению алгебре. В А. C. Хиббарда E.J. Мейкок (ред.) Инновации в обучении алгебре (стр. 11-18). Вашингтоне математической ассоциации Америки.

Галлиан, J. современного алгебре. (1998). Бостон: Houghton Mifflin ..

Keppelman Е., и Уэбб, B. (2002). Начало обучения теории групп с конечным группового поведения. В А. C. Хиббарда E.J. Мейкок (ред.) Инновации в обучении алгебре (стр. 45-53). Вашингтоне математической ассоциации Америки.

Трейлор, D.R. (1972). Creative преподавания: "Наследие" Р. Л. Мур. Хьюстон: Университет Хьюстона.

DR. Андрей Борисович PERRY

Факультет математики

Колледж Спрингфилд